Continuity and Discontinuity of Functions

Continuity
Discontinuity

连续

简单理解：如果函数连续那么极限值就等于函数值。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\ge 0\\ x-2,& x<0\end{array}$$

讨论函数在x=0处是否连续。

x=0时，f(0)=2
分别求左右极限
${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}0+2=2$
${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}0-2=-2$
可以看出函数值不等于极限值
所以f(x)不连续

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已知函数$f(x)=\{\begin{array}{l}3\cos x-1,x<0\\ x^2+2,x\ge 0\end{array}$，则x=0为什么点？

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2+2=2\\ & \underset{x\to 0^{-}}{\lim }3\cos x-1=2\\ & \text{所以该点为连续点}\end{array}$$

已知函数连续求参数

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-x^2}{1+x},x& \ne -1\\ A,x& =-1\end{array}$，当A为多少时，函数f(x)连续。

$$\begin{array}{r}\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1-x^2}{1+x}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(1+x)(1-x)}{1+x}=\underset{x\to -1}{\lim }1-x=1-(-1)=2\\ 又\because f(-1)=A\\ \therefore A=2时，f(x)连续\end{array}$$

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Drawing 2026-03-25 13.37.38.excalidraw

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函数间断点的类型

间断：函数在定义区间，不再连续
间断点：指函数不连续的点

间断点的分类
分类标准：以间断点的左右极限是否存在作为划分依据

第一类间断点：指函数左、右极限均存在的间断点

跳跃间断点

左极限 不等于 右极限

可去间断点

左极限 等于 右极限

$$\begin{array}{r}令f(x)=\frac{\sin x}{x}\\ f(x)在x=0处无定义\\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1\\ 左极限=右极限，所以x=0是可去间断点\end{array}$$

设$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$ 则x=0是f(x)的可去间断点.

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}x}{x}=\frac{1}{2}\end{array}$$

左极限等于右极限

第二类间断点：左、右极限不存在的间断点

无穷间断点

指左、右极限都为 $\infty$

震荡间断点

指$x\to x_0$时，函数f(x)剧烈波动，无定值
x=0，是$f(x)=\sin \frac{1}{x}$的震荡间断点

间断点的识别

分式中，分母=0的点，一定是间断点
分段函数的分段点，可能间断
函数的无定义的点，一定是间断点（包括了分母为0的情况）

函数$f(x)=\frac{1}{(x+1)(x-1)(x-2)}$的间断点的个数 3
$x_1=-1,x_2=1,x_3=2$

函数$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+1)(x-1)(x-2)}$的间断点的个数 2

$$\{\begin{array}{l}(x+1)(x-1)(x-2)=0\\ x\ge 0\end{array}$$

$x_1=-1（舍）,x_2=1,x_3=2$

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讨论$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{\frac{1}{x}},& x<0\\ 0,& x=0\\ \arctan \frac{1}{x},& x>0\end{array}$的间断点
在x=0处
左极限：
$\begin{array}{cc}x\to 0& \frac{1}{x}\to -\infty \\ e^{\frac{1}{x}}\to e^{-\infty }\to 0& \end{array}$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^{\frac{1}{x}}=0$

右极限：

$$\begin{array}{l}x\to 0^{+},\arctan +\infty =\frac{\pi }{2}\end{array}$$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$
左极限右极限存在，并且左极限不等于右极限，为第二类间断点的跳跃间断点

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Drawing 2025-11-01 16.20.50.excalidraw

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${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{a-x}{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{(\sqrt{a}{)}^{\prime }-(\sqrt{a-x}{)}^{\prime }}{1}$
$\sqrt{a}$为常数，常数求导为0。
$\therefore 原式{\lim }_{x\to 0^{+}}=-[(a-x{)}^{\frac{1}{2}}{]}^{\prime }$

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-\left[\frac{1}{2}(a-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (a-x{)}^{\prime }\right]\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }-\left(\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{a-x}}\right)\cdot (-1)\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{a-x}}\\ \frac{1}{2\sqrt{a}}\end{array}$$

正切函数$y=\tan x$在$x=\frac{\pi }{2}$处无定义，且${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}=\infty$

逼近方向	结果
左极限$x\to {\frac{\pi }{2}}^{-}$	$+\infty$
右极限 $x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}$	$-\infty$

所以 $x=\frac{\pi }{2}$是函数的第二类间断点（左、右极限不存在的间断点）