Differential of a function

meaning of differential

函数的微分

定义	$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$	$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$
几何意义	切线纵坐标的增量	切线的斜率（陡峭程度）
本质	描述函数变化的多少，它是一种以直代曲的近似值	描述函数变化的快慢，它是一种变化率
函数微分的表达式（做题用）：
$\mathrm{d}y=y^{\prime }\mathrm{d}x,或\mathrm{d}y=f(x{)}^{\prime }\mathrm{d}x$

定义：若$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$则称$f(x)$在$x_0$处可微，$A\Delta x$称为$f(x)$在$x_0$点的微分。
记为$dy=A\Delta x$
比如：

$$\begin{array}{r}f(x)=x^2\\ \Delta f(x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\\ \\ (x_0+\Delta x{)}^2-x_0=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2-x_0^2\\ \\ 得到：\Delta f(x)=2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2\end{array}$$

$dy$是$\Delta y$的线性主部。
dy用来近似$\Delta y$，所以比$\Delta y$小。

$$dy\approx \Delta y$$

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设$y=\cos 2x\cdot \ln (1+x^2)$，求$\mathrm{d}y$

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }={(\cos 2x)}^{\prime }\cdot \ln (1+x^2)+\cos 2x[\ln (1+x^2){]}^{\prime }\\ y^{\prime }=-\sin 2x\cdot 2\ln (1+x^2)+\cos 2x\frac{1}{1+x^2}2x\\ y^{\prime }=-2\sin 2x\cdot \ln (1+x^2)+\frac{2x\cos 2x}{1+x^2}\end{array}$$ $$\therefore dy=[-2\sin 2x\cdot \ln (1+x^2)+\frac{2x\cos 2x}{1+x^2}]dx$$

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凑微分

$$x\sin l^{2}xdx=()d\cos l^{2}x$$

$d{\cos }^{2}x=({\cos }^{2}x{)}^{\prime }dx=2\cos x(-\sin x)dx=-2\sin x\cos xdx$

原式就等于

$$\begin{array}{r}x{\sin }^{2}xdx=()-2\sin x\cos xdx\\ x(\sin x)(\sin x)dx=()\cdot -2\sin x\cos xdx\\ x(\sin x)(\sin x)dx=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\cdot x\cdot -\frac{1}{2}\right)\cdot -2\sin x\cos xdx\end{array}$$

消掉等号右边的cosx和常数-2，再多乘上一个x，保持和左边一样。
$\therefore -\frac{x}{2}\tan x为答案$
另一种方法：

$d{\cos }^{2}x=({\cos }^{2}x{)}^{\prime }dx=2\cos x(-\sin x)dx=-2\sin x\cos xdx$

$$\begin{array}{r}x{\sin }^{2}xdx=()-2\sin x\cos xdx\end{array}$$

$\frac{x{\sin }^{2}x}{-2\sin x\cos x}=-\frac{x}{2}\tan x$

求指定点的微分

函数在某一点处可微分。

定理：
函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处可导，且有

$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)dx$$

指定点的微分.excalidraw

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常用基本初等函数导数公式

$$\begin{array}{r}(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)\end{array}$$

$(\ln x{)}^{\prime }=\left({\log }_{e}x{)}^{\prime }=(\frac{1}{x\ln e}\right)=\frac{1}{x}$

微分的应用

算近似值
精确值：$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
近似值： $\mathrm{d}y\approx f^{\prime }(x_0)\Delta x$

$$\begin{array}{r}\Delta y\approx dy\\ \Delta y+f(x_0)=f(x_0+\Delta x)\\ \therefore f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x\end{array}$$

用（2）式可以推出，$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$
其中$\Delta x=x-x_0$
上式变形为$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$

下面用这个公式来证明一下等价无穷小。

$\sqrt[n]{1+x}\approx 1+\frac{x}{n}$
在$x\to 0$的情况下，取$f(x)=\sqrt[n]{1+x}$,于是$f(0)=1$

$$\begin{array}{r}\sqrt[n]{1+x}=(1+x{)}^{\frac{1}{n}},\\ {\left((1+x{)}^{\frac{1}{n}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n}(1+x{)}^{(\frac{1}{n}-1)}\cdot 1\\ \frac{1}{n}(1+x{)}^{(\frac{1}{n}-1)}\end{array}$$

代入上式$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)$

$\therefore f(x)\approx 1+\frac{1}{n}\cdot x=1+\frac{x}{n}$

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求$\sin 30^{\circ }30^{\prime }$的近似值
用这个公式$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\Delta x$

$$\begin{array}{r}\sin 30^{\circ }30^{\prime }=\sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}\right)\\ x_0=\frac{\pi }{6},\Delta x=\frac{\pi }{360}\\ \sin \left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{360}\right)\approx \sin \frac{\pi }{6}+\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)\cdot \frac{\pi }{360}\end{array}$$

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求$\sqrt{1.05}$的近似值