Series in Math

级数（英语：Series）代表某序列之和，例如序列$a_1,a_2,a_3,a_4\cdots$的级数$S_{}n$可以表示成$S_n=a_1+\cdots +a_n$，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

无穷级数

定义

$$\begin{array}{r}1+2+3+\cdots +n=\sum _{i=1}^{n}i\\ 无穷级数:1+2+3+\cdots +n+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }n\end{array}$$

常数项级数

常数项级数的性质

收+收=收
收+发=发
发+发=不确定

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则它的一般项$u_n\to 0$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$（级数收敛的必要条件）
比如：对于$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}=1$，它的一般项$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2n}=0$
但是，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$，不能推得$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$收敛

不严格的推导

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{\frac{1}{n}}{\frac{i}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{\frac{i}{n}}\cdot \frac{1}{n}={\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_0^1\\ =\ln 1-\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=\infty \end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\sin \frac{1}{n}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\sin \frac{1}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散\end{array}$$

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则它的一般项$u_n\to 0$，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$（级数收敛的必要条件）。

反过来说，如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散。

总结：

1. 若$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散（正确）
2. 若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。（正确）
3. 若$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$不一定收敛。反例：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散$
4. 若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$不一定成立。反例：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散$

$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性.
比如：

$$\begin{array}{r}\sum _{n=5}^{\infty }\frac{2}{n}=2\sum _{n=5}^{\infty }\frac{1}{n}\\ 根据上面的定理\sum _{n=5}^{\infty }\frac{1}{n}相当于\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}去掉了前4项\\ \therefore \sum _{n=5}^{\infty }\frac{2}{n}发散\end{array}$$

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对于

收+收=收
收+发=发
发+发=不确定

即

若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$必收敛；
若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$必发散；
若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都发散，则无法判断$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$的敛散性。

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\left[(-1{)}^n\frac{8^n}{9^n}+\frac{1}{n\ln n}\right]\\ =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-\frac{8}{9}\right)}^n+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}\\ \sum _{n=1}^{\infty }{\left(-\frac{8}{9}\right)}^n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}发散\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\left[(-1{)}^n\frac{8^n}{9^n}+\frac{1}{n\ln n}\right]发散\end{array}$$

已知$\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)$收敛，求${\lim }_{n\to \infty }{u}_n$

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0\\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=1\end{array}$$

题目要求${\lim }_{n\to \infty }{u}_n$那么$u_n$极限肯定存在。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=0$$

这个极限也存在。
所以极限可以拆开算。

判别级数的敛散性

定义法

部分和：$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+u_3+\cdot \cdot \cdot +u_n$
若$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$（极限存在），则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }$是收敛的；若${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$不存在，则称该级数发散。

$$\begin{array}{r}\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}\end{array}$$

裂项相消

$$\begin{array}{r}{S}_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}\\ =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}收敛于1\end{array}$$

等比级数

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }2n=2+4+6+8+\cdots +2n+\cdots \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }(2+4+\cdots +2n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(2+2n)}{2}=\infty \\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }2n发散\end{array}$$

等比级数

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2n}+\cdots \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^n\frac{1}{2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=1\end{array}$$

取通项极限法

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\cos \frac{1}{n}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{1}{n}=1\ne 0\\ \therefore 发散\end{array}$$

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛于$S,\sigma$则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$也收敛为$S\pm \sigma$

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1{)}^{n-1}}{3^n}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{2}{3^n}+\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^n}\right)\\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{3^n}=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\cdots =\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=1\\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{3^n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}-\frac{1}{3^4}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{4}\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\frac{2+(-1{)}^{n-1}}{3^n}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{n}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\frac{1}{n}}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}\\ u^v=e^{v\ln u}\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}\ln x}\\ =\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{\ln x}{x}}\\ 先算\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\\ \therefore \underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{\ln x}{x}}=1\ne 0\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\sqrt[n]{n}发散\end{array}$$

三个重要级数

p级数的敛散性

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p},(p>0，且为数字)\\ \{\begin{array}{l}p>1,收敛\\ p\le 1,发散\end{array}\\ 调和级数\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}发散,因为p=1\end{array}$$

注意：p级数中的p，必须是常数（不能与n）有关
比如：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$不能看成$p=1+\frac{1}{n}>1$
实际上

$$\begin{array}{r}{n}^{1+\frac{1}{n}}=n\cdot n^{\frac{1}{n}}\\ 结论:\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}=1（可以取对数算）\\ \therefore u_n=\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}\sim \frac{1}{n}\Rightarrow 发散\end{array}$$

特殊的p级数

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{n}}\\ 与\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}进行比较\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{n}}}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n\cdot \sqrt[n]{n}}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=1\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{n}}与\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}同敛散\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{n}}发散\end{array}$$

交错p级数

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^p}\{\begin{array}{l}\text{Absolute convergence},p>1\\ \text{Conditional convergence},0<p\le 1\\ \text{Divergence},p\le 0\end{array}\end{array}$$

等比级数的敛散性

$$\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n+\cdots$$

其中$a\ne 0$，讨论等比级数的敛散性。

				等比数列的通项公式
$a_1$	$a_2$	$a_3$	…	$a_n$
$a$	$aq$	$a{q}^2$		$a{q}^{n-1}$

当$|q|\ne 1$，
部分和

$$\begin{array}{r}{S}_n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}=\frac{a(1-q^n)}{1-q}\end{array}$$

当$|q|<1$，

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a(1-q^n)}{1-q},\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0\\ \therefore \sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=\frac{a}{1-q}\\ \therefore \sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n收敛\end{array}$$

当$|q|>1$

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a(1-q^n)}{1-q},\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=\infty \\ \therefore \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a(1-q^n)}{1-q}=\infty \\ \therefore \sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n发散\end{array}$$

当$|a|=1$,
$a=1$

$$\begin{array}{r}{S}_n=a+a+\cdots +a=na\\ \underset{n\to \infty }{\lim }na=\infty \\ \therefore \sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n发散\end{array}$$

$a=-1$

$$\begin{array}{r}{S}_n=a-a+a-a+\cdots \\ S_n=\{\begin{array}{l}0,n为偶数\\ a,n为奇数\end{array}\end{array}$$

综上，等比级数$|q|<1$，级数收敛；$|q|\ge 1$，级数发散

广义 p 级数

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }{\left(\ln n\right)}^{\beta }}\{\begin{array}{l}\text{当}\alpha >1\text{时,收敛;}\\ \text{当}\alpha <1\text{时,发散};\\ \text{当}\alpha =1,\{\begin{array}{l}\beta >1\text{时,收敛,}\\ \beta \le 1\text{时,发散}.\end{array}\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2\ln n}\Rightarrow \alpha =2>1，收敛\\ \\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}{\ln }^{2}n}\Rightarrow \alpha =\frac{1}{2}<1，发散\\ \\ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{\ln }^{2}n}\Rightarrow \alpha =1,\beta =2>1，收敛\end{array}$$

正项级数敛散性

$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(u_{n\ge 0})$，通项非负的级数称为正项级数。

单调有界原理

(单调有界定理)单调有界数列必有极限.
(有界性)若$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$ 存在,则$u_n$必为有界数列.

Link to original

正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$的部分和数列$S_n$是一个单调递增数列，即

$$\begin{array}{r}{S}_1\le S_2\le S_3\le \cdots \le S_n\le \cdots \end{array}$$

如果$S_n$有界，根据单调有界数列必有极限的准则可知，${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=S$（极限存在），改正项级数收敛；反之，如果该正项级数收敛，数列$S_n$有界。

正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛的充要条件是它的部分和数列有界。

比较判别法

比较判别法的极限形式
设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n(v_n>0)$是两个正项级数，且${\lim }_{n\to \infty }\frac{u_n}{v_n}=A$

1. 若$0<A<+\infty$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$敛散性相同；
2. 若A=0，“大收则小收”,$u_n$是$v_n$的高阶无穷小（上面比下面小），$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛；
3. 若$A=+\infty$，“小发则大法”,$u_n$比$v_n$低阶（上面比下面大），$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散

第一种方法：

第二种方法“大收则小收”：

小发则大发：

比值判别法

$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$含有$n!$或$2^n$（增长的特别快），则可用比值判别法：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\{\begin{array}{l}<1,收敛\\ =1,\text{此法失效}\\ >1,\text{发散}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}<1\\ \therefore 由比值判别法得\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}收敛\end{array}$$

裂项法

判别级数$\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$的敛散性

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}\cdots +\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\ =-1+\sqrt{n+1}=\infty \end{array}$$

莱布尼兹判别法

对于交错级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n(u_n>0)$$

若交错级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$满足：

1. $u_n\ge u_{n+1}(\text{从某项起})$,人话：单调递减
2. ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$
   则$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$收敛,否则发散（只要一个条件不满足）

注：$u_n$是各项去掉正负号剩下的正数。（人话：只看正数）

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n^2}\\ \frac{1}{1},\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2}\cdots ，递减（越来越小）\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0\\ \therefore 收敛\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+1}=1\ne 0\\ \therefore 发散\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{5n}{3^n}\end{array}$$

例题（做题方法）

判断无穷级数敛散性，第一步直接取通项极限，如果${\lim }_{n\to \infty }{u}_n\ne 0$，直接判断$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散。
如果${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$再进行下一步。

判断是否为交错级数（莱布尼兹判别）

有阶乘、指数函数、就用比值判别法。

最后，再考虑用比较判别法

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教材例题：
用分数表示循环小数$3.2\dot{5}0\dot{8}$

条件收敛与绝对收敛

称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$u_n$为任意项（$u_n$可正可负、形式随意）为任意项级数。
处理方法：对$u_n$加绝对值（变为正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$）
原来$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$（小）→ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$（放大）
绝对收敛：若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛（大收则小收）
条件收敛：若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散，但级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则称级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛。

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}\Rightarrow 收敛\\ \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }|(-1{)}^n\frac{1}{n}|=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\Rightarrow 发散\\ \therefore \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n}条件收敛\end{array}$$

无穷级数考连加

幂级数

无穷个幂函数相加

本质为函数

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n=x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots (x\in R)$$

令$x=\frac{1}{2},0,1$

$$\begin{array}{rl}f(\frac{1}{2})& =\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2}{)}^n=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^3+\cdots +(\frac{1}{2}{)}^n+\dots =1，收敛\\ f(0)& =\sum _{n=1}^{\infty }{0}^n=0+0^2+0^3+\dots +0^n+\cdots =0，收敛\\ f(1)& =\sum _{n=1}^{\infty }{1}^n=1+1^2+1^3+\dots +1^n+\cdots =\infty ，发散\end{array}$$

幂级数运算

$$\begin{array}{rl}& \text{设幂级数}\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\text{ 与}\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\text{ 分别在}(-R_1,R_1),(-R_2,R_2)\text{ 内收敛},R_1>0,R_2>0.\text{它们}\\ & \text{的和函数分别为 }{S}_1(x)\text{ 与}{S}_2(x),\text{那么对于上述的幂级数可以进行如下运算}:\\ 1:)& \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm \sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n=S_1(x)\pm S_2(x)\\ & \text{所得幂级数}\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n\text{ 仍收敛,且收敛半径是}{R}_1\text{ 与}{R}_2\text{ 中较小的一个}\\ 2:)& \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^n=S_1(x)\cdot S_2(x)\\ & \text{乘积所得幂级数}\text{仍收敛,且收敛半径是}{R}_1\text{ 与}{R}_2\text{ 中较小的一个}\end{array}$$

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如果已知级数 $\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n$ 在某区间内收敛，且已知 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$（或 $\sum _{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$）在该区间内也收敛，那么另一个级数必然收敛，此时可以反拆：

${\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$

收敛域

所有使$\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n$收敛的x值的集合
由于$x^n$为指数函数，用比值判别法

$$\begin{array}{r}令|\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{n+1}}{x^n}|<1\\ |x|<1\\ 即-1<x<1(收敛区间)\\ 但这可能一个收敛区间，漏了判别法=1的情况\\ x=1时,\sum _{n=1}^{\infty }{1}^n发散\\ x=-1时,\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n发散\\ 综上收敛域(-1,1)\end{array}$$

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对于不缺项级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$有三种算法

1. 比值判别法加强版$u_{n=a_n{x}^n},\text{Let}\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{u_{n+1}}{u_n}|<1$
2. 直接算$a_n$，$\text{Let}\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$,收敛半径$R=\frac{1}{\rho }$，再根据收敛中心写收敛区间
3. 根植判别

$$\begin{array}{r}\text{Let }\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho \\ R=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\rho },& \rho \ne 0,\\ +\infty ,& \rho =0,\\ 0,& \rho =+\infty .\end{array}\end{array}$$

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对于缺项的级数：

• $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}$或$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n+1}$是缺项的幂级数，此时$R=\sqrt{\frac{1}{\rho }}$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{3n}$或$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{3n-1}$是缺项的幂级数，此时$R=\sqrt[3]{\frac{1}{\rho }}$

具体形幂级数收敛区间

对于$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$，求收敛于

$$\begin{array}{r}令|\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}|<1\\ 解出x\Rightarrow -a<x<a(收敛区间)\\ 收敛半径r=a\\ x=a，x=-a分别代入\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n\\ 依次判断敛散性\end{array}$$

抽象形幂级数收敛区间

求和函数

先背公式

$$\begin{array}{r}\sum _{x=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x},x\in (-1,1)\\ \sum _{x=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=\frac{1}{1+x},x\in (-1,1)\\ \sum _{x=1}^{\infty }{x}^n=\frac{x}{1-x},x\in (-1,1)\\ \sum _{x=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin x,x\in (-\infty ,+\infty )\\ \sum _{x=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\cos x,x\in (-\infty ,+\infty )\\ \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x,x\in (-\infty ,+\infty )\\ \sum _{x=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=\ln (1+x),x\in (0,1]\end{array}$$

幂级数n的取值变化

Pay attention to the first term of the sequence; otherwise, the result will be incorrect.

$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n+1}{x}^{n+1}(n:1\to 0,\text{replace}n\text{with}n+1)\\ \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=\sum _{n=2}^{\infty }{a}_{n-1}{x}^{n-1}\end{array}$$

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$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n-a_0\end{array}$$

写开来就可以证明