三角形内切圆

对于一个等边三角形ABC，它的内切圆半径的公式为
$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a(a为边长)$
用等面积法推得
$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

$$\begin{array}{r}3\cdot \frac{1}{2}\cdot ar=\frac{1}{2}ah\\ 3\cdot \frac{1}{2}\cdot ar=\frac{1}{2}a\frac{\sqrt{3}a}{2}\end{array}$$

化简得
$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$

外切圆可用正弦定理算得：

$$\begin{array}{r}\frac{a}{sin\frac{\pi }{3}}=2r\\ a=2r\cdot sin\frac{\pi }{3}\end{array}$$