ordinary differential equation

[TOC]

ordinary differential equation(ODE) 常微分方程
一个未知函数及其导数或微分的关系式， 如：$f^{\prime }(x)-7f(x)=0$ 。

称含有y及相关导数的方程叫做微分方程。
如：

$$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=0$$

方程的阶：指方程中最高阶导数
如微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=0$的阶数为2。

方程的解：满足方程的函数y
如：

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }=0\end{array}$$

的解为$y=C$
$\begin{array}{rl}& \text{解的类型:}\\ & \{\begin{array}{l}1)\text{通解：满足方程的所有解；特点}\{\begin{array}{l}1.\text{ 含有任意常数 }C\\ 2.\text{ 且 }C\text{ 的个数与阶数相同}\end{array}\\ \\ 2)\text{特解：满足方程的一个特殊的解；特点：不含 }C\end{array}\end{array}$
(通解)比如：

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime \prime }=1\\ 要求y，两边积分\\ \int y^{\prime \prime }dx=\int 1dx\\ y^{\prime }+C=x+C\\ y^{\prime }=x+C_1\\ \int y^{\prime }dx=\int (x+C_1)dx\\ y=\frac{x^2}{2}+C_{1}x+C_2\end{array}$$

(特解)比如：

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }=0\\ y=1(为一个特解)\\ y=2(为一个特解)\\ y=3(为一个特解)\\ \cdots \end{array}$$

阶数的识别

只看导数的最高次

$$(y^{\prime \prime }{)}^5+2(y^{\prime }{)}^3+x{y}^6=0$$

的阶数为2

线性微分方程

方程中的未知函数y、及其各阶导数$y^{\prime },y^{\prime \prime }$等均是一次方。

比如：

$$x{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+x^{2}y=0$$

首先判断是线性微分方程，并且是二阶，所以是二阶线性微分方程。

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rlrl}& p(x)y+q(x)y^{\prime \prime }=y^{(4)}& & \text{4阶线性/线性}\\ & y^{\prime }y-2xy=3& & \text{1阶线性/非线性}(y^{\prime }y乘在一起算二次)\\ & y^{\prime }=y^2+1& & \text{1阶线性/非线性}\\ & y^{\prime }=\sin y^{\prime \prime }+6y& & \text{2阶线性/非线性}(\sin y^{\prime \prime }复合函数)\\ & x^2{y}^{\prime \prime }+(\sin x)y^{\prime }+y={\mathbf{e}}^x& & \text{2阶线性/线性}\end{array}\end{array}$$

齐次微分方程

拿到一个式子，把y及其相关的放在等号左边，等号右边为关于x的函数$Q(x)$

$$\{\begin{array}{l}Q(x)=0\Rightarrow 齐次\\ Q(x)\ne 0\Rightarrow 非齐次\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{y}^{\prime \prime \prime }+4xy-7x=0\\ y^{\prime \prime \prime }+4xy=7x\Rightarrow 7x\ne 0\\ 三阶线性非齐次微分方程\end{array}$$ $$y^{\prime \prime }+4xy+7x=0\Rightarrow 二阶线性非齐次微分方程$$

具体参考onenote

判断的简便方法
一阶齐次微分方程

微分方程求解

直接积分法

遇见

$$\begin{array}{r}{y}^{(n)}=Q(x)\end{array}$$

一阶可分离变量微分方程

把$y^{\prime }\to \frac{dy}{dx}$

常用化简

$$\begin{array}{r}{C}_1\pm C_2=C\\ C_1\cdot C_2=C\\ C=\ln C\\ \pm e^C=C\end{array}$$

一阶线性微分方程通解

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }+P(x)y=Q(x)\\ 通解为：\\ y=e^{-\int P(x)dx}\cdot \left[\int e^{\int P(x)dx}\cdot Q(x)dx+C\right]\end{array}$$

当 Q(x) ≡ 0 时，称为齐次线性微分方程(Homogeneous Linear Differential Equation)

一阶齐次微分方程

齐次：指x,y各项次数或乘积相同

$$x^2,y^2,xy都为2次$$

在进行变量分离时，将x、y变成$\frac{y}{x}$的形式
如果考二次，等号两边同除$x^2$

概念：称$\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})$的方程，叫齐次方程(Homogeneous First-Order Differential Equation)

$$\begin{array}{r}{x}^{2}y\cdot y^{\prime }+x^3=y^3\end{array}$$

简便方法

不看$y^{\prime }$，发现都为三次，所以这是一阶齐次微分方程

二阶微分方程

称：$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$为二阶微分方程

• 当f(x)=0为二阶齐次线性微分方程
• 当$f(x)=P(x)e^{\lambda x}$为二阶非齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程的解法：

$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$$

解法：
写出特征方程：

$$a{r}^2+br+c=0$$

求出特征根

$$r_1\text{and}{r}_2=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$$

套公式

$$\{\begin{array}{ll}1:r_1\ne r_2& ,y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}\\ 2:r_1=r_2& ,y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}\\ 3:r_{1,2}=a\pm bi& ,y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)\end{array}$$

二阶非齐次线性微分方程

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{\lambda x}P(x)$$

通解为

$$y=\bar{y}+y^{\ast }$$

其中$\bar{y}$为齐次通解
$y^{\ast }$为非齐次特解

设$y^{\ast }=e^{\lambda x}\cdot q(x)\cdot x^k$
q(x)根据P(x)的最高次来设，并且把$e^{\lambda x}$去掉

P(x)	a（为常数）	$x^1$	$x^2$	…
q(x)	A	Ax+B	$A{x}^2+Bx+C$	…

$$\begin{array}{r}k=\{\begin{array}{l}0,\lambda \ne r_1,\lambda \ne r_2\\ 1,\lambda =r_1\text{或}\lambda =r_2\\ 2,\lambda =r_1=r_2\end{array}\end{array}$$

带三角函数

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{\lambda x}[P_1(x)\cos \omega x+P_2(x)\sin \omega x]$$

还是一样通解y为：

$$y=\bar{y}+y^{\ast }$$

特解设为：

$$y^{\ast }=e^{\lambda x}(Q_1(x)\cos wx+Q_2(x)\sin wx)x^k$$

看$P_1(x)$和$P_2(x)$的最高次	a（常数）	$x^1$	$x^2$	…
$Q_1(x)$	A	Ax+B	$A{x}^2+Bx+C$	…
$Q_2(x)$	B	Cx+D	$D{x}^2+Ex+F$	…

$$k=\{\begin{array}{l}0,r\ne \lambda \pm \omega i\\ 1,r=\lambda \pm \omega i\end{array}$$

四个定理

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

二阶常系数线性齐次微分方程
常系数：$p(x)\text{与}q(x)$都为常数

定理一：

若$y_1$和$y_2$都为$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$的解，则$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$也是该方程的解。证明直接带入就行。

定理二：

若$y_1$和$y_2$都为$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$的解，且$y_1$与$y_2$不相关，则$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$也是该方程的通解。

$$\begin{array}{r}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}=A(\text{常数})\Rightarrow \text{相关}\\ \frac{x^2}{x}=x\ne A\Rightarrow \text{不相关}\end{array}$$

定理三：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=e^{\lambda x}P(x)$$

通解为

$$y=\bar{y}+y^{\ast }$$

其中$\bar{y}$为齐次通解
$y^{\ast }$为非齐次特解

定理四：

1. $y_1$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)$的解
2. $y_2$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_2(x)$的解

则：

• $y_1+y_2$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)+f_2(x)$的解
• $y_1-y_2$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f_1(x)-f_2(x)$的解
• $a{y}_1-y_2$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=a{f}_1(x)-f_2(x)$的解

推论：
如果$f_1(x)=f_2(x)$；

• $y_1-y_2$是$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$的解
  二阶线性非齐次微分方程的两个特解的差，是二阶线性齐次微分方程的特解

微分算子法

求二阶非齐次微分方程的特解

$$\begin{array}{r}{y}^{\prime }=\frac{d}{dx}=D\\ y^{\prime \prime }=\frac{d^2}{d{x}^2}=D^2\\ y^{(n)}=D^n\end{array}$$

单指数函数

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=A{e}^{kx}\\ & y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}\cdot A{e}^{kx}=\frac{1}{D^2+pD+q}A{e}^{kx}\end{array}$$

见D就换k,如果分母为0,分母求导前添x

多项式

直接解,用泰勒展开展开多项式

多项式组合指数函数

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P(x)e^{kx}\\ & y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}P(x)e^{kx}\\ & \text{指数前移}\\ & y^{\ast }=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}P(x)\end{array}$$

单三角函数

$$\begin{array}{r}{y}^{\ast }=\frac{1}{F(D)}\sin ax\\ \text{见}{D}^2\text{就换}-a^2\end{array}$$

三家函数指数函数组合

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=\sin ax{e}^{kx}\\ & y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}\sin ax{e}^{kx}\\ & \{\begin{array}{l}1.e^{kx}\text{前提}\\ 2.F(D)\text{增加偏移量k}\end{array}\\ & y^{\ast }=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}\sin ax\\ & \text{见}{D}^2\text{就换}-a^2\end{array}$$